Question

已知如下圖所示，在等邊△ABC和等邊△ADE中，點B、A、D在一條直線上，BE、CD交于F．
（1）求證：△BAE≌△CAD．
（2）求∠BFC的大小．
（3）在圖1的基礎上，將△ADE繞點A按順時針方向旋轉180°，此時BE交CD的延長線于點F，其他條件不變，得到圖2所示的圖形，請直接寫出（1）、（2）中結論是否仍然成立．

Answer 1

（1）證明：∵等邊△ABC和等邊△ADE，
∴AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=60°，
∴∠CAE=60°，
∠BAE=∠CAD=120°，
∴△BAE≌△CAD，

（2）解：∵△BAE≌△CAD，
∴∠ADC=∠AEB，
∵∠BFC=∠ABE+∠ADC，
∴∠BFC=∠ABE+∠AEB，
∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE，∠BAE=120°，
∴∠BFC=60°，

（3）解：成立．
∵等邊△ABC和等邊△ADE，
∴AE=AD，AC=AB，∠BAE=∠CAD=60°，
∴△BAE≌△CAD，
∵∠CDA=∠AEB，
∴∠ABE+∠BDF=∠ABE+∠CDA=∠ABE+∠AEB，
∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=180°-60°=120°，
∴∠ABE+∠BDF=120°，
∠BFC=180°-（∠ABE+∠BDF）=60°．
分析：（1）首先由于AB=AC，AD=AE，∠BAE=∠CAD=120°，可以證明△BAE≌△CAD，
（2）根據（1）推出的結論即可推出∠ADC=∠AEB，根據外角的性質，即得∠BFC=∠ABE+∠ADC=∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=60°，
（3）成立，由AE=AD，AC=AB，∠BAE=∠CAD=60°，即可推出△BAE≌△CAD，即得∠ABE+∠BDF=∠ABE+∠CDA=∠ABE+∠AEB=180°-60°=120°，即可推出∠BFC=180°-（∠ABE+∠BDF）=60°．
點評：本題主要考查全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質，三角形內角和定理，關鍵在于根據已知條件推出△BAE≌△CAD，熟練運用外角的性質、內角和定理等知識點．