Question

某燈飾店老板為試銷一種成本為每盞50元的壁燈，投資8000元新裝修店面，規定試銷時的銷售單價每盞不低于60元，又不高于80元，試銷中月銷售量y（盞）與銷售單價x（元）的關系可以近似的看作一次函數（如圖）．
（1）求y與x的之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍．
（2）第一個月該店是盈利還是虧損？求出當盈利最大或虧損最小時壁燈的銷售單價．
（3）在（2）的前提下，即在第一個月該店盈利最大或虧損最小時，第二個月該店銷售單價為多少時，該店兩個月獲得的總利潤為3500元．

Answer 1

解：（1）設y=kx+b（k≠0），
由圖象，將（60，400）和（70，300）代入得：
，
解得：，
則y=-10x+1000（60≤x≤80）；

（2）第一個月該店是虧損，若設第一個月利潤為W，
根據題意得：W=（-10x+1000）（x-50）-8000=-10（x-75）²-1750，
則當x=75，虧損最小為1750元；

（3）設兩個月利潤為P，
根據題意列得：P=（-10x+1000）（x-50）-1750=-10（x-75）²+4500，
令P=3500，可得：-10（x-75）²+4500=3500，
解得：x₁=65，x₂=85，
又60≤x≤80，x=65，
則第二個月該店銷售單價為65元時，兩個月獲得的總利潤為3500元．
分析：（1）由試銷中月銷售量y（盞）與銷售單價x（元）的關系可以近似的看作一次函數，從圖象上找出兩點坐標（60，400）、（70，300），設一次函數解析式為y=kx+b（k≠0），將兩點坐標代入得到關于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，即可確定出一次函數解析式，并根據試銷時的銷售單價每盞不低于60元，又不高于80元，求出x的范圍；
（2）第一個月該店是虧損．設第一個月的利潤為W，由（1）表示出的月銷售量y（盞），根據總利潤=月銷售量y（盞）×銷售單價（元），列出W關于x的二次函數解析式，配方后，利用二次函數的性質即可得出虧損最小時壁燈的銷售單價；
（3）設兩個月利潤為P，根據總利潤=月銷售量y（盞）×銷售單價（元）表示出第二個月的利潤，減去第一個月虧損的錢數，表示出P，令P=3500，得到關于x的一元二次方程，求出方程的解即可得到該店兩個月獲得的總利潤為3500元時，第二個月的銷售單價．
點評：此題考查了一次、二次函數的應用題，涉及的知識有：二次函數的性質，以及待定系數法確定函數解析式，是一道與實際生活密切相關的熱點試題．