Question

如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，E是CD的中點，P是BC邊上的一點，下列條件中，可以推出△AED與△ECP相似的有

①②④（每填對一個給1分，多選或錯選不給分）

．
①∠AED=∠PEC；②∠AEP=90°；③P是BC的中點；④BP：BC=3：4．

Answer 1

分析：由四邊形ABCD為正方形，得到四條邊相等，四個內角都為直角．由于△AED與△ECP都是直角三角形，根據如果兩個三角形有兩組對應邊的比相等，并且它們的夾角也相等，則當PC：DE=EC：AD時能得到△AED與△ECP相似，即可得到BP=2CP．

解答：解：①∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠C=∠D=90°，
當∠AED=∠PEC時，又∠D=∠C=90°，
∴△AED∽△PEC；
故本選項正確；

②∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠C=∠D=90°，
當∠AEP=90°時，∠DAE=∠CEP（同角的余角相等）．
又∠D=∠C=90°，
∴△AED∽△EPC；
故本選項正確；

當P是BC的中點時，PC=CE，則

AD

EC

=2，

DE

CP

=1，
∴

AD

EC

≠

DE

CP

，
∴△AED與△ECP不相似．
故本選項錯誤；

④∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．
若BP：BC=3：4時，設BP=3k，BC=4k．則AD=CD=BC=4k，CP=BC-BP=k，
∴CE=DE=2k，
∴

AD

EC

=

4k

2k

=2，

DE

CP

=

2k

k

=2，
∴

AD

EC

=

DE

CP

．
又∠D=∠C=90°，
∴△AED∽△ECP；
故本選項正確；
綜上所述，可以推出△AED與△ECP相似的有：①②④．
故答案是：①②④．

點評：考查相似三角形的判定定理：
（1）兩角對應相等的兩個三角形相似．
（2）兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似．
（3）三邊對應成比例的兩個三角形相似．
（4）如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似．