Question

如圖，已知C、D是雙曲線，y=在第一象限內的分支上的兩點，直線CD分別交x軸、y軸于A、B兩點，設C、D的坐標分別是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），連接OC、OD．
（1）求證：y₁＜OC＜y₁+；
（2）若∠BOC=∠AOD=a，tana=，OC=，求直線CD的解析式；
（3）在（2）的條件下，雙曲線上是否存在一點P，使得S_△POC=S_△POD？若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點C作CG⊥x軸，垂足為G，則CG=y₁，OG=x₁，根據直角三角形中斜邊大于直角邊，以及兩邊之和大于第三邊即可求解；
（2）已知OC的長，以及tanα的值，在直角△OCG中，即可解得OG，CG的長，得到C點的坐標；利用待定系數法即可求得反比例函數的解析式，再根據tanα的值即可求得D點的坐標，把C，D兩點的坐標代入解析式，利用待定系數法即可求得直線CD的解析式；
（3）根據C，D兩點的坐標可以得到OC=OD，使S_△POC=S_△POD，即P到OC與OD的距離相等，則P一定在∠COD的角平分線上，即是∠COD的平分線與雙曲線y=的交點．
解答：（1）證明：過點C作CG⊥x軸，垂足為G，則CG=y₁，OG=x₁．（1分）
∵點C（x₁，y₁）在雙曲線y=上，
∴x₁=
∵在Rt△OCG中，CG＜OC＜CG+OG，∴y₁＜OC＜y₁+（3分）

（2）解：在Rt△GCO中，∠GCO=∠BOC=α，
tana=，即，y₁=3x₁
∵OC²=OG²+CG²，OC=，
∴10=x₁²+y₁²，即10=x₁²+（3x₁）²
解之，得x₁=±1．∵負值不合題意，∴x₁=1，y₁=3．∴點C的坐標為（1，3）．（4分）
∵點C在雙曲線y=上，
∴3=，即m=3
∴雙曲線的解析式為y=（5分）
過點D作DH⊥x軸，垂足為H．則DH=y₂，OH=x₂
在Rt△ODH中，tana===，即x₂=3y₂
又y₂=，則3y₂²=3．
解之，得y₂=±1．
∵負值不合題意，∴y₂=1，x₂=3
∴點D的坐標為（3，1）（6分）
設直線CD的解析式為y=kx+b．
則有，解得．
∴直線CD的解析式為y=-x+4．（7分）

（3）解：雙曲線y=上存在點P，使得S_△POC=S_△POD，這個點P就是
∠COD的平分線與雙曲線y=的交點（8分）
證明如下：
∵點P在∠COD的平分線上．
∴點P到OC、OD的距離相等．
又OD====OC
∴S_△POD=S_△POC．（10分）
點評：本題綜合運用了三角形的邊的關系定理，待定系數法求函數解析式，以及角平分線的性質，是一個難度較大的綜合題．