Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，△ADE經逆時針旋轉后與△CDF重合．
（1）指出旋轉的中心和旋轉的角度；
（2）如果連接EF，那么△DEF是怎樣的三角形？請說明理由．
（3）現把△CDF向左平移，使DC與AB重合，得△BAH，AH交ED于點G．
①請問平移的距離是多少？此時△BAH能否由△ADE直接旋轉得到，若能，請說出怎樣旋轉（指出旋轉的中心和旋轉的角度）；若不能，請說明理由．
②線段AH與ED有怎樣的位置關系？試說明理由，并求AG的長（精確到0.1）．

Answer 1

分析：（1）四邊形ABCD為正方形，△ADE經逆時針旋轉后與△CDF重合，可知旋轉中心，旋轉角；
（2）由旋轉的性質可知，DE=DF，∠EDF為旋轉角，可判斷△DEF為等腰直角三角形；
（3）①能，旋轉中心為正方形對角線的交點，逆時針旋轉90°；
②由旋轉角為90°可知，線段AH與ED的位置關系為垂直；在△ADE中，利用面積法求AG．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，△ADE經逆時針旋轉后與△CDF重合，
∴旋轉角∠ADC=90°，旋轉中心為點D．

（2）△DEF為等腰直角三角形；
理由：由旋轉的性質可知，DE=DF，
旋轉角∠EDF=∠ADC=90°
∴△DEF為等腰直角三角形；

（3）①平移距離為2．
此時△BAH能由△ADE直接旋轉得到；旋轉中心為正方形對角線的交點，逆時針旋轉90°即可；
②AH⊥ED；
理由：∵∠BAH=∠ADE，∠BAH+∠HAD=90°，
∴∠ADE+∠HAD=90°，
∴AH⊥ED；
∵AD=2，AE=1，
由勾股定理，得DE=

AD2+AE2

=

5

由S_△ADE=

1

2

×AD×AE=

1

2

×AG×DE，得
AG=

AD×AE

DE

=

2×1

5

≈0.9．

點評：本題考查了平移、旋轉的基本性質，特殊三角形的判定，勾股定理及面積法的運用能力，具有一定的綜合性．