Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，CD⊥AB于D，AD=9，BD=4，以C為圓心，CD為半徑的圓與⊙O相交于P，Q兩點，弦PQ交CD于E，則PE•EQ的值是（ ）

A．24
B．9
C．6
D．27

Answer 1

【答案】分析：延長DC交⊙C于M，延長CD交⊙O于N．在⊙O中，由射影定理得CD=6．在⊙O、⊙C中，由相交弦定理可知PE•EQ=DE•EM=CE•EN，設CE=x，列方程求解得CE=3．所以DE=6-3=3，EM=6+3=9，即可求得PE•EQ．
解答：解：延長DC交⊙C于M，延長CD交⊙O于N．
∵CD²=AD•DB，AD=9，BD=4，
∴CD=6．
在⊙O、⊙C中，由相交弦定理可知，PE•EQ=DE•EM=CE•EN，
設CE=x，則DE=6-x，
則（6-x）（x+6）=x（6-x+6），
解得x=3．
所以，CE=3，DE=6-3=3，EM=6+3=9．
所以PE•EQ=3×9=27．
故選D．
點評：此題綜合運用了相交弦定理、垂徑定理．