Question

（2004•棗莊）如圖，已知矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE與DB交于點F，FG∥DA與AB交于點G．
（1）求證：BF=BC；
（2）若AB=4cm，AD=3cm，求CF．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求證：BF=BC只要證明∠CFB=∠FCB就可以，從而轉化為證明∠BCE=∠BDC就可以；
（2）已知AB=4cm，AD=3cm，就是已知BC=BF=3cm，CD=4cm，在直角△BCD中，根據三角形的面積等于BD•CE=BC•DC，就可以求出CE的長．
要求CF的長，可以在直角△CEF中用勾股定理求得．其中EF=BF-BE，BE在直角△BCE中根據勾股定理，就可以求出．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠CDB+∠DBC=90°．
∵CE⊥BD，
∴∠DBC+∠ECB=90°．
∴∠ECB=∠CDB．
又∵∠DCF=∠ECF，
∴∠CFB=∠CDB+∠DCF=∠ECB+∠ECF=∠BCF．
∴BF=BC；

（2）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得
BD===5．
又∵BD•CE=BC•DC，
∴CE=．
∴=．
∴EF=BF-BE=3-．
∴CF=．
點評：本題主要應用了等腰三角形的判定定理，等角對等邊，以及勾股定理．