Question

已知拋物線y=

1

4

x2，定點F的坐標為（0，1），定直線l的方程為：y=-1；
（1）當動點P在該拋物線上運動時，求證：P到定直線l的距離PP′等于P到定點F的距離．
（2）若過定點F任作一條直線，與拋物線交于M、N兩點，再以線段MN的長為直徑作一個圓C，試判斷圓C與定直線l的位置關系，并說明理由．
（3）在（2）的條件下，你能否在定直線l上找到一點Q，使得QF恰好平分∠MQN？若能，求出點坐標；否則，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線解析式設出點P的坐標為（x，

1

4

x²），根據勾股定理表示求出PF，再根據點到直線的距離表示出點P到直線l的距離，即可得證；
（2）過M、N、C分別作直線l的垂線，垂足分別為E、G、H，可得CH是梯形MEGN的中位線，根據梯形的中位線定理可得CH=

1

2

（ME+NG），再根據（1）的結論代入整理可得CH=

1

2

MN，再根據直線與圓的位置關系可以判斷圓C與定直線l相切；
（3）根據角平分線的性質可得

MF

NF

=

MQ

NQ

，再根據ME=MF，NG=NF，可以判斷Rt△MEQ和Rt△NGQ相似，根據相似三角形對應角相等可得∠MQE=∠NQG，又因為QF平分∠MQN，推出∠EQF=90°，從而得到點Q在y軸上，即Q為定值線與y軸的交點．

解答：（1）證明：∵點P在拋物線y=

1

4

x²上，
∴設點P（x，

1

4

x²），
則PF=

x2+( 1 4 x2-1)2

=

1 16 x4+ 1 2 x2+1

=

1

4

x²+1，
∵定直線l的方程為：y=-1，
∴點P到直線l的距離PP′=

1

4

x²-（-1）=

1

4

x²+1，
∴P到定直線l的距離PP′等于P到定點F的距離；

（2）解：圓C與定直線l的位置關系是相切．理由如下：
如圖，過M、N、C分別作直線l的垂線，垂足分別為E、G、H，
則CH是梯形MEGN的中位線，
∵ME=MF，NG=NF，
∴CH=

1

2

（ME+NG）=

1

2

（MF+NF）=

1

2

MN，
即圓心C到定直線l的距離等于⊙C的半徑，
∴圓C與定直線l的位置關系是相切；


（3）解：存在點Q（0，-1），使得QF恰好平分∠MQN．
理由如下：∵QF平分∠MQN，
∴

MF

NF

=

MQ

NQ

，
∵ME=MF，NG=NF，
∴

ME

NG

=

MQ

NQ

，
∴Rt△MEQ∽Rt△NGQ，
∴∠MQE=∠NQG，
又∵QF平分∠MQN，
∴∠MQF=∠NQF，
∵∠MQE+∠MQF+∠NQF+∠NQG=180°，
∴∠MQE+∠MQF=

1

2

×180°=90°，
∴∠EQF=90°，
∴點Q在y軸上，
即點Q為定直線l：y=-1與y軸的交點，
∴點Q的坐標為（0，-1）．

點評：本題綜合考查了二次函數，主要利用了拋物線上點的特征，梯形的中位線定理，直線與圓的位置關系以及直角三角形相似的判斷與相似三角形對應角相等的性質，（3）中角平分線的性質，三角形的角平分線分對邊所成的兩條線段的比等于三角形兩鄰邊的比同學們比較生疏，要特別注意．