Question

如圖，△ABC中，AB=AC，I為△ABC的內(nèi)心，AI的延長線交△ABC的外接圓于點D，過點I作BC的平行線分別交AB、AC于E、F，若O是△DEF外接圓的圓心．
證明：（1）O點在線段AD上；
（2）AB、AC是⊙O的切線．
如圖，四邊形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，DA=DC，求證，BD²=AB²+BC²．

Answer 1

證明：（1）∵AB=AC，I為△ABC的內(nèi)心，即AI平分∠BAC
∴
又∵BC∥EF，
∴AI垂直平分EF，
而O是△DEF外接圓的圓心，則O點一定在EF的垂直平分線上，
∴O點在線段AD上；

（2）連接OE，OF，BD，BI，如圖，
∵AD垂直平分BC，
∴AD過△ABC外接圓的圓心，即AD為△ABC外接圓的直徑，
∴∠ABD=90°，而∠AIE=90°，
∴I、E、B、D四點共圓，
∴∠IDE=∠IBE=∠IBC，而∠EOI=2∠EDI，
∴∠EOI=∠ABC，而∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠EOI+∠BAD=90°，即∠OEA=90°，
∴AB是⊙O的切線．同理可得AC是⊙O的切線．

證明：
連接AC，因為AD=DC，∠ADC=60°
則△ACD是等邊三角形，
過B作BE⊥AB，使BE=BC，連接CE，AE，
則∠EBC=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
∴△BCE是正三角形，
又∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠ACB+60°
∠DCB=∠ACB+∠ACD=∠ACB+60°
∴∠ACE=∠DCB
又DC=AC，BC=CE
所以△DCB≌△ACE
所以AE=BD
在直角三角形ABE中AE²=AB²+BE²，
即BD²=AB²+BC²．
分析：（1）由AB=AC，I為△ABC的內(nèi)心，得AI垂直平分BC，而BC∥EF，得到AI垂直平分EF，所以O點一定在EF的垂直平分線上；
（2）連OE，OF，BD，BI，由AD為△ABC外接圓的直徑，易知I、E、B、D四點共圓，所以∠IDE=∠IBE=∠IBC，∠EOI=2∠EDI，∴∠EOI=∠ABC，而∠ABC+∠BAD=90°，得∠EOI+∠BAD=90°，即∠OEA=90°．
連接AC，過B作BE⊥AB，使BE=BC，連接CE，AE，則△ACD，△BCE是等邊三角形，易證△DCB≌△ACE，AE=BD，在直角三角形ABE中AE²=AB²+BE²，即BD²=AB²+BC²．
點評：本題考查了圓的切線的判定方法．經(jīng)過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．當已知直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要連接圓心和這個點，證明這個連線與已知直線垂直即可；當沒告訴直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要過圓心作直線的垂線，證明垂線段等于圓的半徑．同時考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)和幾何中輔助線的作法．