Question

如圖，直線x=-4與x軸交于點E，一開口向上的拋物線過原點交線段OE于點A，交直線x=-4于點B，過B且平行于x軸的直線與拋物線交于點C，直線OC交直線AB于D，且AD：BD=1：3．
（1）求點A的坐標；
（2）若△OBC是等腰三角形，求此拋物線的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點D作DF⊥x軸于點F，由拋物線的對稱性可知OF=AF，則2AF+AE=4①，由DF∥BE，得到△ADF∽△ABE，根據相似三角形對應邊成比例得出==，即AE=2AF②，①與②聯立組成二元一次方程組，解出AE=2，AF=1，進而得到點A的坐標；
（2）先由拋物線過原點（0，0），設此拋物線的解析式為y=ax²+bx，再根據拋物線過原點（0，0）和A點（-2，0），求出對稱軸為直線x=-1，則由B點橫坐標為-4得出C點橫坐標為2，BC=6．再由OB＞OC，可知當△OBC是等腰三角形時，可分兩種情況討論：①當OB=BC時，設B（-4，y₁），列出方程，解方程求出y₁的值，將A，B兩點坐標代入y=ax²+bx，運用待定系數法求出此拋物線的解析式；②當OC=BC時，設C（2，y₂），列出方程，解方程求出y₂的值，將A，C兩點坐標代入y=ax²+bx，運用待定系數法求出此拋物線的解析式．
解答：解：（1）如圖，過點D作DF⊥x軸于點F．
由題意，可知OF=AF，則2AF+AE=4①．
∵DF∥BE，
∴△ADF∽△ABE，
∴==，即AE=2AF②，
①與②聯立，解得AE=2，AF=1，
∴點A的坐標為（-2，0）；

（2）∵拋物線過原點（0，0），
∴可設此拋物線的解析式為y=ax²+bx．
∵拋物線過原點（0，0）和A點（-2，0），
∴對稱軸為直線x==-1，
∵B、C兩點關于直線x=-1對稱，B點橫坐標為-4，
∴C點橫坐標為2，
∴BC=2-（-4）=6．
∵拋物線開口向上，
∴∠OAB＞90°，OB＞AB=OC，
∴當△OBC是等腰三角形時，分兩種情況討論：
①當OB=BC時，設B（-4，y₁），
則16+=36，解得y₁=±2（負值舍去）．
將A（-2，0），B（-4，2）代入y=ax²+bx，
得，解得．
∴此拋物線的解析式為y=x²+x；
②當OC=BC時，設C（2，y₂），
則4+=36，解得y₂=±4（負值舍去）．
將A（-2，0），C（2，4）代入y=ax²+bx，
得，解得．
∴此拋物線的解析式為y=x²+x．
綜上可知，若△OBC是等腰三角形，此拋物線的函數關系式為y=x²+x或y=x²+x．
點評：本題考查了二次函數的綜合題型，其中涉及到二次函數的對稱性，相似三角形的判定與性質，運用待定系數法求拋物線的解析式，等腰三角形的性質，兩點間的距離公式等知識，綜合性較強，難度適中．運用數形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵．