Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）過點O作線段AC的垂線OE，垂足為E（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（3）若CD=4，AC=4

5

，求垂線段OE的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC．根據切線性質可證OC∥AD；根據等腰三角形性質可證AC平分∠DAB；
（2）基本作圖：作線段垂直平分線．
（3）證明△AEO與△ADC相似，得比例線段求解．

解答：（1）證明：連接OC．
∵CD切⊙O于點C，
∴OC⊥CD．
又∵AD⊥CD，
∴OC∥AD．
∴∠OCA=∠DAC．
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC．
∴∠OAC=∠DAC．
∴AC平分∠DAB．

（2）解：如圖所示．

（3）解：在Rt△ACD中，CD=4，AC=4

5

，
∴AD=

AC2-CD2

=

(4 5 )2-42

=8．
∵OE⊥AC，
∴AE=2

5

．
∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC，
∴△AEO∽△ADC，
∴

OE

CD

=

AE

AD

．
∴OE=

AE

AD

×CD=

2 5

8

×4=

5

．
即垂線段OE的長為

5

．

點評：此題考查切線的性質、尺規作線段的垂直平分線、相似三角形的判定與性質等知識點，綜合性較強，難度較大．