Question

如圖，某房地產開發公司購得一塊三角形地塊，在靠近∠B的內部有一千年的古樟樹要加以保護，市政府規定要過P點劃一三角形的保護區，你怎樣劃這條線才能使被劃去的△BDE的面積最小？為什么？

Answer 1

解：過P作直線GF∥AB，交BC于G，交AC于F，在BC上取點E，
使GE=BG，延長EP交AB于點D，則△BDE的面積最小．
若過P任作一直線，交BC于M，交AB于N，
過D作DK∥BC，交MN于K，
∵GP∥AB，BG=GE，
∴DP：PE=BG：GE，
∴PD=PE，
又∵DK∥BC，
∴∠KDP=∠MEP，∠PKD=∠PME，
∴△MPF≌△KPG，
∴S_△NPG＞S_△MPF，
∴S_△BMN＞S_△BFG，
∴△BDE的面積最小．
分析：過P作直線GF∥AB，交BC于G，交AC于F，在BC上取點E，使GE=BG，延長EP交AB于點D，則△BDE的面積最小．
先過P任作一直線，交BC于M，交AB于N，比較△BDE的面積和△BMN的面積，也就是比較△PME和△NDP的面積，由于GP∥AB，BG=GE，根據平行線分線段成比例定理易得DP=PE，再結合DK∥BC，易證△MPF≌△KPG，從而易知S_△NPG＞S_△MPF，進而可知S_△BMN＞S_△BFG，也就說明△BDE的面積最小．
點評：本題考查了全等三角形的判定和性質、三角形中位線定理、平行線的性質、平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是作輔助線，并進行比較．