Question

某旅游勝地欲開發一座景觀山．從山的側面進行勘測，迎面山坡線ABC由同一平面內的兩段拋物線組成，其中AB所在的拋物線以A為頂點、開口向下，BC所在的拋物線以C為頂點、開口向上．以過山腳(點C)的水平線為x軸、過山頂(點A)的鉛垂線為y軸建立平面直角坐標系如圖(單位：百米)．已知AB所在拋物線的解析式為y＝－x²＋8，BC所在拋物線的解析式為y＝(x－8)²，且已知B(m，4)．

(1)設P(x，y)是山坡線AB上任意一點，用y表示x，并求點B的坐標；

(2)從山頂開始、沿迎面山坡往山下鋪設觀景臺階．這種臺階每級的高度為20 cm，長度因坡度的大小而定，但不得小于20 cm，每級臺階的兩端點在坡面上(如上圖)．

①分別求出前三級臺階的長度(精確到1 cm)；

②這種臺階不能一起鋪到山腳，為什么？(可取點驗證)

(3)在山坡上的700 m高度(點D)處恰好有一小塊平地，可以用來建造索道站．索道站的起點選擇在山腳水平線上的點E處，OE＝1 600(m)．假設索道DE可近似地看成一段以E為頂點、開口向上的拋物線，解析式為y＝(x－16)²．試求索道的最大懸空高度．

Answer 1

答案：
解析：

分析　(1)根據B點的縱坐標可以直接得到其橫坐標．(2)從B處能直接鋪到山腳，所以只要判斷從山頂能否鋪到點B．(3)懸空高度實際上是拋物線DE與拋物線BC的函數值的差的最大值． 　　說明　事實上這種臺階從山頂開始最多只能鋪到700 m高度，共500級．從100 m高度到700 m高度都不能鋪設這種臺階． 　　(3)D(2，7)、E(16，0)、B(4，4)、C(8，0)． 　　由AB、BC所在拋物線和索道拋物線可知，只有當索道在BC上方時，索道的懸空高度才有可能取最大值．索道在BC上方時，懸空高度y＝(x－16)2－(x－8)2＝(－3x2＋40x－96)＝－(x－)2＋． 　　∴當x＝時，ymax＝．∴索道的最大懸空高度為m．