Question

【題目】如圖，矩形ABOD的兩邊OB，OD都在坐標軸的正半軸上，OD=4，另兩邊與一次函數y=﹣2x+b的圖象分別相交于點E，F，且DE=2，過點E作EH⊥x軸于點H，過點F作FG⊥EH于點G．

（1）求一次函數的解析式；

（2）當四邊形BHGF為正方形時，點F的坐標；

（3）是否存在矩形BHGF與矩形DOHE相似情形？若存在，求出相似比；若不存在，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣2x+8；（2）（，）；（3）存在，相似比為1：2或2：5．

【解析】

試題分析：（1）先確定E點坐標，由四邊形ABOD為矩形，OD=4，DE=2，得出E點坐標為（2，4），代入一次函數y=﹣2x+b，求出b=8，即可得出一次函數的解析式；（2）利用一次函數求出F點坐標，設正方形BHGF的邊長為a，則GH=HB=BF=a，得出F點坐標為（2+a，a），代入y=﹣2x+8，求出a=，即可得出F點坐標；（3）矩形BHGF與矩形DOHE能相似，分兩種情況：①FG：OD=BF：DE，即=2，設FG=2t，則BF=t，則F點坐標為（2+2t，t），代入y=﹣2x+8，求出t=，得出FG=，即可求出相似比；②FB：OD=FG：DE，即=2，設FB=2t，則FG=t，則F點坐標為（2+t，2t），代入y=﹣2x+8，求出t=1，得出FG=2，即可求出相似比．

試題解析：（1）先求出E點坐標，∵四邊形ABOD為矩形，EH⊥x軸，OD=4，DE=2，∴E點坐標為（2，4），∴4=﹣2×2+b，解得：b=8，∴一次函數的解析式為y=﹣2x+8；（2）利用一次函數求出F點坐標，設正方形BHGF的邊長為a，則GH=HB=BF=a，∴F點坐標表示為（2+a，a），把F（2+a，a）代入y=﹣2x+8，得a=﹣2（2+a）+8，解得：a=，∴F點坐標為（，）；（3）矩形BHGF與矩形DOHE能相似．∵矩形BHGF與矩形DOHE能相似，根據對應線段不同，分兩種情況：①FG：OD=BF：DE，∴=2，設FG=2t，則BF=t，∴F點坐標為（2+2t，t），把F（2+2t，t）代入y=﹣2x+8，得t=﹣2（2+2t）+8，解得：t=，∴FG=，相似比===；②FB：OD=FG：DE，∴=2，設FB=2t，則FG=t，∴F點坐標為（2+t，2t），把F（2+t，2t）代入y=﹣2x+8，得2t=﹣2（2+t）+8，解得：t=1，∴FG=2，相似比===；綜上所述：相似比為1：2或2：5．