Question

（2005•青島）如圖，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，動點P以2米/秒的速度從點A出發，沿AC向點C移動，同時動點Q以1米/秒的速度從點C出發，沿CB向點B移動，設P、Q兩點移動t秒（0＜t＜5）后，四邊形ABQP的面積為S米²．
（1）求面積S與時間t的關系式；
（2）在P、Q兩點移動的過程中，四邊形ABQP與△CPQ的面積能否相等？若能，求出此時點P的位置；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為四邊形ABQP是不規則的四邊形，它的面積S不能直接求出．而△ABC的面積可以求出，△PCQ的面積可以用t表示，所以s可以用這兩個三角形的面積之差表示．這樣關系式就可以求出了．
（2）假設四邊形ABQP與△CPQ的面積相等，則能得到關于t的一元二次方程，求解即可．
解答：解：（1）過點P作PE⊥BC于E
Rt△ABC中，AC==10（米）
由題意知：AP=2t，CQ=t，則PC=10-2t
由AB⊥BC，PE⊥BC得PE∥AB
∴
即：=，
∴PE=（10-2t）=-t+6
又∵S_△ABC=×6×8=24
∴S=S_△ABC-S_△PCQ=24-•t•（-t+6）=t²-3t+24
即：S=t²-3t+24（8分）

（2）假設四邊形ABQP與△CPQ的面積相等，則有：
t²-3t+24=12
即：t²-5t+20=0
∵b²-4ac=（-5）²-4×1×20＜0
∴方程無實根
∴在P、Q兩點移動的過程中，四邊形ABQP與△CPQ的面積不能相等．
點評：此題首先會用勾股定理和平行線分線段成比例的性質求AC和PE，然后用面積的割補法求函數解析式．（2）中要會導出一元二次方程，然后用判別式判斷即可．這道題關鍵在于面積的割補法．