Question

如圖，△ADE為正三角形，四邊形ABCD為正方形，AD=，則過B、C、E三點的圓的直徑為    ．

Answer 1

【答案】分析：連接BE、CE，易知△BCE是等腰三角形，那么它的外接圓圓心必在BC的垂直平分線上；設此中垂線與BC的交點為F，△BCE的外接圓圓心為O，連接OB、OC，易證得∠OEC=∠OCE=∠DCE=∠DEC=15°，因此四邊形OCDE是平行四邊形；而OC=OE、CD=DE，那么四邊形OCDE是菱形，因此△BCE的外接圓半徑即為AD的長，由此得到它的外接圓直徑．
解答：解：連接EF，過E作EF⊥BC于E；
易知DE=DC=2，∠EDC=90°+60°=150°
∴∠1=∠2=15°；
同理，∠3=∠4=15°；
易證得△ABE≌△DCE，得BE=CE；
則∠5=∠6=∠BEC=15°；
設△BCE的外心為O，則O必在線段EF上；
連接OC，則∠5=∠7=15°，
∴∠7=∠2=15°，得OC∥DE；
又∵OE∥CD，且OC=OE，
∴四邊形OCDE是菱形，即OC=OE=CD=2，
故過B、C、E三點的圓的直徑為4．
點評：此題主要考查了正方形、等邊三角形的性質，菱形的判定和性質、等腰三角形的性質以及三角形的外接圓等相關知識；能夠判斷出所求圓的直徑同AD的值相同是解決此題的關鍵．