Question

已知：在△ACB中∠ACB=90°，CD⊥AB于D，點E在AC上，BE交CD于點G，EF⊥BE交AB于點F，

（1）如圖1，AC=BC，點E為AC的中點，求證：EF=EG；
（2）如圖2，BE平分∠CBE，AC=2BC，試探究線段EF與EG的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

證明：（1）如答圖1，過E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°，
∴AD=CD，
∵點E為AC的中點，CD⊥AB，EN⊥DC，
∴EN=AD，
∴EM=CD，
∴EN=EM，
∵∠FEB=90°，∠MEN=90°，
∴∠NEG=∠FEM，
∴，
∴△EFM≌△EGN，（ASA）
則EF=EG

（2）如答圖2，過E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，
∵∠FEM+∠MEB=90°，∠NEG+∠BEM=90°，
∴∠ENG=∠FEM，
∵∠ENG=∠EMF，
∴△EFM∽△EGN，
則，
又∵BE平分∠ABC，∴CE=EM
∴，
可證，
∴．
分析：（1）根據全等三角形的證明方法利用ASA得出△EFM≌△EGN，即可得出EF=EG；
（2）根據已知首先求出∠ENG=∠FEM，再得出∠ENG=∠EMF，即可得出△EFM∽△EGN，再利用相似三角形的性質得出答案即可．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質等知識，靈活的應用其性質得出三角形角邊關系是解決問題的關鍵．