Question

10．如圖，△ABC是等邊三角形，AB=2cm，動點P、Q分別從點B、C同時出發，運動速度均為2cm/s．點P從B點出發，沿B→C運動，到點C停止，點Q從點C出發，沿C→B運動，到點B停止，連接AP、AQ，點P關于直線AB的對稱點為D，連接BD、DQ，設點P的運動時間為t（s）．
（1）當PQ=BD時，t=$\frac{1}{3}$或1s；
（2）求證：△ACP≌△ABQ；
（3）求證：△ADQ是等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）根據軸對稱圖形的性質證明BD=BP，然后求出PQ的長，由PQ=BD即可求出t的值．
（2）根據判定定理（SAS）證明即可．
（3）只需證明△ABP≌△ACQ、△ABD≌△ABP，再根據全等圖形的性質即可證明△ADQ是等邊三角形

解答 （1）解：由題意可知：BP=2t，BQ=2t
∴PQ=|2-4t|
∵點P關于直線AB的對稱點為D，
∴BP=BD
∴當PQ=BD時，有：|2-4t|=2t，t=$\frac{1}{3}$或1；
即：當PQ=BD時，t=$\frac{1}{3}$或1，
故答案為：$\frac{1}{3}$或1．
（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ABQ=∠ACP=60°
在△ACP與△ABQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABQ=∠ACP}\\{BQ=CP}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△ABQ（SAS）
（3）證明：如圖：

在△ABP與△ACQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABP=∠ACQ}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）
又點P關于直線AB的對稱點為D，
∴BD=BP，∠ABD=∠ABP
∴在△ABD與△ABP中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=BP}\\{∠ABD=∠ABP}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ABP（SAS）
∴△ACQ≌△ABD
∴∠1=∠3，AQ=AP=AD
∵∠1+∠BAQ=∠3+∠BAQ=60°
即：∠DAQ=60°．
∴△ADQ是等邊三角形．

點評 本題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質和判定，解題的關鍵是掌握軸對稱圖形的性質、全等三角形的性質、等邊三角形的性質及其綜合應用．