Question

【題目】請你利用直角坐標平面上任意兩點（x1，y1）、（x2，y2）間的距離公式解答下列問題：

已知：反比例函數與正比例函數y＝x的圖象交于A、B兩點（A在第一象限），點F1（﹣2，﹣2）、F2（2，2）在直線y＝x上．設點P（x0，y0）是反比例函數圖象上的任意一點，記點P與F1、F2兩點的距離之差d＝|PF1﹣PF2|．試比較線段AB的長度與d的大小，并由此歸納出雙曲線的一個重要定義（用簡練的語言表述）．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

解由y＝和y=x組成的方程組可得A、B兩點的坐標分別為（，）、（，），利用兩點間的距離公式可求出線段AB的長度，由P為反比例函數y=上一點可得出x0與y0的關系式，利用兩點間的距離公式可得出PF1、PF2的長，代入d=|PF1-PF2|即可得到x0的表達式，再根據x0的取值范圍即可求出d的長，進而得出結論．

解：解由和y＝x組成的方程組可得A、B兩點的坐標分別為，（，）、（-，-），線段AB的長度＝4

∵點P（x0，y0）是反比例函數圖象上一點，

∴y0＝

∴PF1＝＝＝||，

PF2＝＝＝||，

∴d＝|PF1﹣PF2|＝，

當x0＜0時，d＝4；x0＞0時，d＝4．

∴無論點P的位置如何，線段AB的長度與d一定相等．

∴到兩個定點的距離之差（取正值）是定值的點的集合（軌跡）是雙曲線．