Question

如圖所示，矩形ABCD，AB＞AD，E在AD上，將△ABE沿BE折疊后，A點正好落在CD上的點F．
（1）用尺規作出E、F；
（2）若AE=5，DE=3，求折痕BE的長；
（3）試判斷四邊形ABFE是否一定有內切圓．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意作圖即可；
（2）在△DEF中利用勾股定理可求得DF的長，證明Rt△ADF∽Rt△BAE，利用相似三角形的性質可求得BF的長，在△BEF中利用勾股定理可求得BE的長；
（3）假設四邊形ABFE有內切圓，則圓心必在BE上．求出內切圓半徑即可作出判斷．
解答：解：（1）作法：①作BF=BA交CD于F．
②連BF作∠ABF的平分線，則點E、F為所求．

（2）連接EF
由條件知：Rt△ABE≌Rt△FBE
∴EF=AE
又∵AE=5，DE=3，∠D=90°
∴
又∵BE⊥AF
∴Rt△ADF∽Rt△BAE
∴
∴
∴；

（3）假設四邊形ABFE有內切圓，則圓心必在BE上．
設圓心為點I，內切圓半徑為r，△BMI∽△BAE，
，
則有
∴，符合題意，
∴此四邊形ABFE一定有內切圓．
點評：考查了翻折變換（折疊問題），圖形對折的問題一定要注意，折疊的圖形與折疊后的圖形全等，此題還考查了勾股定理的應用和三角形的內切圓與內心．