Question

【題目】已知E，F分別為正方形ABCD的邊BC，CD上的點，AF，DE相交于點G，當E，F分別為邊BC，CD的中點時，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．
試探究下列問題：
（1）如圖1，若點E不是邊BC的中點，F不是邊CD的中點，且CE=DF，上述結論①，②是否仍然成立？（請直接回答“成立”或“不成立”），不需要證明）

（2）如圖2，若點E，F分別在CB的延長線和DC的延長線上，且CE=DF，此時，上述結論①，②是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由；

（3）如圖3，在（2）的基礎上，連接AE和EF，若點M，N，P，Q分別為AE，EF，FD，AD的中點，請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）

解：上述結論①，②仍然成立，

理由為：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，

在△ADF和△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，

∵∠ADG+∠EDC=90°，

∴∠ADG+∠DAF=90°，

∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；

（2）

上述結論①，②仍然成立，

理由為：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，

在△ADF和△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴AF=DE，∠CDE=∠DAF，

∵∠ADG+∠EDC=90°，

∴∠ADG+∠DAF=90°，

∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；

（3）

四邊形MNPQ是正方形．

理由為：如圖，設MQ，DE分別交AF于點G，O，PQ交DE于點H，

∵點M，N，P，Q分別為AE，EF，FD，AD的中點，

∴MQ=PN= DE，PQ=MN= AF，MQ∥DE，PQ∥AF，

∴四邊形OHQG是平行四邊形，

∵AF=DE，

∴MQ=PQ=PN=MN，

∴四邊形MNPQ是菱形，

∵AF⊥DE，

∴∠AOD=90°，

∴∠HQG=∠AOD=90°，

∴四邊形MNPQ是正方形．

【解析】（1）由四邊形ABCD為正方形，CE=DF，易證得△ADF≌△DCE（SAS），即可證得AF=DE，∠DAF=∠CDE，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可證得AF⊥DE；（2）由四邊形ABCD為正方形，CE=DF，易證得△ADF≌△DCE（SAS），即可證得AF=DE，∠E=∠F，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可證得AF⊥DE；（3）首先設MQ，DE分別交AF于點G，O，PQ交DE于點H，由點M，N，P，Q分別為AE，EF，FD，AD的中點，即可得MQ=PN= DE，PQ=MN= AF，MQ∥DE，PQ∥AF，然后由AF=DE，可證得四邊形MNPQ是菱形，又由AF⊥DE即可證得四邊形MNPQ是正方形．