Question

已知，凸4n+2邊形A₁A₂…A_4n+2（n是非零自然數）各內角都是30°的整數倍，又關于x的方程：

x2+2xsinA1+sinA2=0 x2+2xsinA2+sinA3=0 x2+2xsinA3+sinA1=0

均有實根，求這凸4n+2邊形各內角的度數．

Answer 1

分析：首先根據30°的倍數得到各個內角的度數可能有的情況，再根據它們的銳角三角函數值結合方程根的情況進行分析．

解答：解：∵各內角只能是30°，60°，90°，120°，150°，
∴正弦值只能取

1

2

，

3

2

，1，
若sinA₁=

1

2

，
∵sinA₂≥

1

2

，sinA₃≥

1

2

，
∴方程①的判別式△₁=4（sin²A₁-sinA₂）≤4（

1

4

-

1

2

）＜0，
方程①無實根，與已知矛盾，
故sinA₁≠

1

2

，
同理sinA₂≠

1

2

，sinA₃≠

1

2

，
若sinA₁=

3

2

，則sinA₂≥

3

2

，sinA₃≥

3

2

，
∴方程①的判別式△₁=4（sin²A₁-sinA₂）=4•（

3

4

-

3

2

）＜0，方程①無實根，與已知矛盾，
∴sinA₁≠

3

2

，同理sinA₂≠

3

2

，sinA₃≠

3

2

，
綜上，sinA₁=1，A₁=90°，
這樣，其余4n-1個內角之和為4n×180°-3×90°=720°•n-270°，這些角均不大于150°，
∴720°•n-270°≤（4n-1）•150°，
故n≤1，又n為正整數，
∴n=1，即多邊形為凸六邊形，且A₄+A₅+A₆=4×180°-3×90°=450°，
∵A₄，A₅，A₆≤150°，
∴A₄=A₅=A₆=150°．

點評：此題綜合運用了特殊角的銳角三角函數值以及一元二次方程根的情況進行分析．