Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．半徑為1的圓的圓心P以1個單位/s的速度由點A沿AC方向在AC上移動，設移動時間為t（單位：s）．
（1）當t為何值時，⊙P與AB相切；
（2）作PD⊥AC交AB于點D，如果⊙P和線段BC交于點E，證明：當時，四邊形PDBE為平行四邊形．

Answer 1

【答案】分析：（1）當⊙P在移動中與AB相切時，設切點為M，連接PM，根據△APM∽△ABC可求得t的值；
（2）由BC⊥AC，PD⊥AC，易得BC∥DP，再分別求得PD、BE的值，證明其相等，即可得出四邊形PDBE為平行四邊形的結論．
解答：（1）解：當⊙P在移動中與AB相切時，
設切點為M，連接PM，則∠AMP=90°，
∴△APM∽△ABC，
∴，
∵AP=t，AB=，
∴，
∴．（4分）

（2）證明：∵BC⊥AC，PD⊥AC，
∴BC∥DP，
當時，AP=，
∴PC=4-，
∴EC=
∴BE=BC-EC=3-，
∵△ADP∽△ABC，
∴，
∴，
∴PD=，
∴PD=BE，
∴當t=時，四邊形PDBE為平行四邊形．
點評：此題主要考查切線的性質、相似三角形的判定和性質以及平行四邊形的判定．