Question

已知：平行四邊形ABCD的兩鄰邊的長m，n是關于x的方程的兩個實數根．
（1）求k的取值范圍．
（2）當k為何值時，四邊形ABCD是菱形？
（3）當k為何值時，四邊形ABCD的兩條對角線的長相等，且都等于？求出這時四邊形ABCD的周長和面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意求出△=b²-4ac=（-k）²-4×1×（-）≥0，m+n=k＞0，mn=-＞0，求出不等式組的解集即可；
（2）根據菱形的性質得出m=n，即可得出方程有兩個相等的實數根，即△=0，求出即可；
（3）得出四邊形是矩形，根據勾股定理和根與系數的關系求出k，求出方程的解，即可求出矩形的周長和面積．
解答：解：（1）
∵平行四邊形ABCD的兩鄰邊的長m，n是關于x的方程的兩個實數根，
∴△=b²-4ac=（-k）²-4×1×（-）≥0，m+n=k＞0，mn=-＞0，
（k-1）²≥0，k＞0，k＞，
即k的取值范圍是k＞；

（2）∵要使四邊形是菱形，則m=n，即方程有兩個相等的實數根，
∴△=b²-4ac=（-k）²-4×1×（-）=0，
即k=1，
∴當k為1時，四邊形ABCD是菱形；

（3）∵四邊形是平行四邊形，且四邊形的對角線相等，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
由勾股定理得：m²+n²=（）²，
即（m+n）²-2mn=，
∵m+n=k，mn=-，
∴k²-2（-）=，
k₁=2，k₂=-1（因為由（1）得出k＞，所以此時的值舍去），
把k=2代入方程得：x²-2x+=0，
解方程得：m=，n=或n=，m=，
∴矩形ABCD的周長是2×（+）=4，面積是×=．
即此時四邊形ABCD的周長是4，面積是．
點評：本題考查了平行四邊形的性質，菱形的性質，矩形的性質和判定的綜合運用．