Question

如圖，菱形ABCD的邊長為1，BD=1，E，F(xiàn)分別是邊AD，CD上的兩個動點(diǎn)，且滿足AE+CF=1，設(shè)△BEF的面積為s，則s的取值范圍是（ ）

A．≤s≤1
B．≤s≤
C．≤s≤
D．≤s≤

Answer 1

【答案】分析：利用菱形的性質(zhì)和正三角形的特點(diǎn)可證得△BDE≌△BCF；繼而可得△BEF為正三角形，然后作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)成直角三角形，根據(jù)直角三角形的特點(diǎn)和三角函數(shù)進(jìn)行計算即可求得答案．
解答：解：菱形ABCD的邊長為1，BD=1，
∴△ABD和△BCD都為正三角形，
∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC，
∵AE+DE=AD=1，而AE+CF=1，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，
，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；
∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°，
∴△BEF為正三角形；
設(shè)BE=BF=EF=x，
則S=•x•x•sin60°=x²，
當(dāng)BE⊥AD時，x最小為：1×sin60°=，
∴S_最小=×（）²=，
當(dāng)BE與AB重合時，x最大，
∵菱形ABCD的邊長為1，
∴AB=1，
∴x最大為1，
∴S_最大=×1²=，
∴≤s≤．
故選C．
點(diǎn)評：此題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積問題．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．