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如圖,在平面直角坐標系中,二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點A(3,0),B(-1,0),C(0,-3),頂點為D.
(1)求這個二次函數的解析式及頂點坐標;
(2)在y軸上找一點P(點P與點C不重合),使得∠APD=90°,求點P坐標;
(3)在(2)的條件下,將△APD沿直線AD翻折,得到△AQD,求點Q坐標.

【答案】分析:(1)將A、B、C三點坐標代入y=ax2+bx+c中,列方程組求a、b、c的值,得出二次函數解析式,根據頂點坐標公式求頂點坐標;
(2)設P(0,m),由勾股定理分別表示PA,PD,AD的長,由于∠APD=90°,在Rt△PAD中,由勾股定理列方程求m的值即可;
(3)作QH⊥x軸,垂足為點H,由勾股定理求出PA=PD=,又∠PAQ=90°,可證△PAD為等腰直角三角形,由翻折的性質可知四邊形APDQ為正方形,得出△AOP≌△AHQ,利用線段相等關系求Q點坐標.
解答:解:(1)由題意,得,…(1分)
解得…(1分)
所以這個二次函數的解析式為y=x2-2x-3…(1分)
頂點D的坐標為(1,-4)…(1分)
(2)解法一:設P(0,m)
由題意,得PA=,PD=,AD=2…(1分)
∵∠APD=90°,∴PA2+PD2=AD2,即(2+(2=(22…(1分)
解得m1=-1,m2=-3(不合題意,舍去)…(1分)
∴P(0,-1)…(1分)

解法二:
如圖,作DE⊥y軸,垂足為點E,
則由題意,得  DE=1,OE=4…(1分)
由∠APD=90°,得∠APO+∠DPE=90°,
由∠AOP=90°,得∠APO+∠OAP=90°,
∴∠OAP=∠EPD
又∠AOP=∠OED=90°,
∴△OAP∽△EPD
…(1分)
設OP=m,PE=4-m
,解得m1=1,m2=3(不合題意,舍去)…(1分)
∴P(0,-1)…(1分)

(3)解法一:
如圖,作QH⊥x軸,垂足為點H,易得PA=AQ=PD=QD=,∠PAQ=90°,
∴四邊形APDQ為正方形,…(1分)
由∠QAP=90°,得∠HAQ+∠OAP=90°,由∠AOP=90°,得∠APO+∠OAP=90°,
∴∠OPA=∠HAQ,又∠AOP=∠AHQ=90°,PA=QA
∴△AOP≌△AHQ,∴AH=OP=1,QH=OA=3…(2分)
∴Q(4,-3)…(1分)
解法二:
設Q(m,n)…(1分)
則AQ==,QD==…(1分)
解得(不合題意,舍去)…(1分)
∴Q(4,-3)…(1分)
點評:本題考查了二次函數的綜合運用.關鍵是由已知條件求二次函數解析式,由解析式求頂點坐標,利用勾股定理列方程或利用三角形相似,得出比例式,求出相關點的坐標.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,在平面直角坐標中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點P為x軸上的一個動點,但是點P不與點0、點A重合.連接CP,D點是線段AB上一點,連接PD.
(1)求點B的坐標;
(2)當∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點P的坐標.

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(2012•渝北區一模)如圖,在平面直角坐標xoy中,以坐標原點O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(包括邊界)的所有整數點(橫、縱坐標均為整數)中任意選取一個點,其橫、縱坐標之和為0的概率是
5
29
5
29

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如圖,在平面直角坐標中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點坐標為(4,0),D點坐標為(0,3),則AC長為
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5

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如圖,在平面直角坐標xOy中,已知點A(-5,0),P是反比例函數y=
k
x
圖象上一點,PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數y=
k
x
的解析式為(  )

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如圖,在平面直角坐標中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動點P從點O出發,在梯形OABC的邊上運動,路徑為O→A→B→C,到達點C時停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
(3)當△OCP是等腰三角形時,請寫出點P的坐標(不要求過程,只需寫出結果).

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