Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過點A（3，0），B（-1，0），C（0，-3），頂點為D．
（1）求這個二次函數的解析式及頂點坐標；
（2）在y軸上找一點P（點P與點C不重合），使得∠APD=90°，求點P坐標；
（3）在（2）的條件下，將△APD沿直線AD翻折，得到△AQD，求點Q坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B、C三點坐標代入y=ax²+bx+c中，列方程組求a、b、c的值，得出二次函數解析式，根據頂點坐標公式求頂點坐標；
（2）設P（0，m），由勾股定理分別表示PA，PD，AD的長，由于∠APD=90°，在Rt△PAD中，由勾股定理列方程求m的值即可；
（3）作QH⊥x軸，垂足為點H，由勾股定理求出PA=PD=，又∠PAQ=90°，可證△PAD為等腰直角三角形，由翻折的性質可知四邊形APDQ為正方形，得出△AOP≌△AHQ，利用線段相等關系求Q點坐標．
解答：解：（1）由題意，得，…（1分）
解得…（1分）
所以這個二次函數的解析式為y=x²-2x-3…（1分）
頂點D的坐標為（1，-4）…（1分）
（2）解法一：設P（0，m）
由題意，得PA=，PD=，AD=2…（1分）
∵∠APD=90°，∴PA²+PD²=AD²，即（）²+（）²=（2）²…（1分）
解得m₁=-1，m₂=-3（不合題意，舍去）…（1分）
∴P（0，-1）…（1分）

解法二：
如圖，作DE⊥y軸，垂足為點E，
則由題意，得  DE=1，OE=4…（1分）
由∠APD=90°，得∠APO+∠DPE=90°，
由∠AOP=90°，得∠APO+∠OAP=90°，
∴∠OAP=∠EPD
又∠AOP=∠OED=90°，
∴△OAP∽△EPD
∴…（1分）
設OP=m，PE=4-m
則，解得m₁=1，m₂=3（不合題意，舍去）…（1分）
∴P（0，-1）…（1分）

（3）解法一：
如圖，作QH⊥x軸，垂足為點H，易得PA=AQ=PD=QD=，∠PAQ=90°，
∴四邊形APDQ為正方形，…（1分）
由∠QAP=90°，得∠HAQ+∠OAP=90°，由∠AOP=90°，得∠APO+∠OAP=90°，
∴∠OPA=∠HAQ，又∠AOP=∠AHQ=90°，PA=QA
∴△AOP≌△AHQ，∴AH=OP=1，QH=OA=3…（2分）
∴Q（4，-3）…（1分）
解法二：
設Q（m，n）…（1分）
則AQ==，QD==…（1分）
解得，（不合題意，舍去）…（1分）
∴Q（4，-3）…（1分）
點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是由已知條件求二次函數解析式，由解析式求頂點坐標，利用勾股定理列方程或利用三角形相似，得出比例式，求出相關點的坐標．