Question

【題目】如圖，已知拋物線過點A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其頂點為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點M（1，m），當MB+MD的值最小時，求m的值；

（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值；

（4）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點N，E為直線AC上任意一點，過點E作EF∥ND交拋物線于點F，以N，D，E，F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）E（﹣2，1）或（， ）或（， ）．

【解析】試題分析：（1）根據待定系數法，可得答案；

（2）利用軸對稱求最短路徑的知識，找到B點關于直線x=1的對稱點B′，連接B'D，B'D與直線x=1的交點即是點M的位置，繼而求出m的值．

（3）根據平行于y軸的直線上兩點間的距離是交大的縱坐標間距坐標減較小的縱坐標，可得PE的長，根據三角形的面積，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案；

（4）設出點E的，分情況討論，①當點E在線段AC上時，點F在點E上方，②當點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，根據平行四邊形的性質，可得關于x的方程，繼而求出點E的坐標．

試題解析：解：（1）將A，B，C點的坐標代入解析式，得： ，解得： ，拋物線的解析式為： ．

（2）配方，得，頂點D的坐標為（﹣1，4）．作B點關于直線x=1的對稱點B′，如圖1，則B′（4，3），由（1）得D（﹣1，4），可求出直線DB′的函數關系式為，當M（1，m）在直線DN′上時，MN+MD的值最小，則m==．

（3）作PE⊥x軸交AC于E點，如圖2，AC的解析式為y=x+3，設P（m， ），E（m，m+3），PE==，S△APC=PE|xA|=（）×3=，當m=﹣時，△APC的面積的最大值是；

（4）由（1）、（2）得D（﹣1，4），N（﹣1，2），點E在直線AC上，設E（x，x+3）：

①當點E在線段AC上時，點F在點E上方，則F（x，﹣x2﹣2x+3），∵EF=DN，∴﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=4﹣2=2，解得，x=﹣2或x=﹣1（舍去），則點E的坐標為：（﹣2，1）．

②當點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，則F（x，﹣x2﹣2x+3），∵EF=DN，∴（x+3）﹣（﹣x2﹣2x+3）=2，解得x=或x=，即點E的坐標為：（， ）或（， ）．

綜上所述：滿足條件的點E坐標為E（﹣2，1）或（， ）或（， ）．