Question

（2007•龍巖）如圖1，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3．M是邊AB上的動點（M不與A，B重合），MN∥BC交AC于點N，△AMN關于MN的對稱圖形是△PMN．設AM=x．
（1）用含x的式子表示△AMN的面積（不必寫出過程）；
（2）當x為何值時，點P恰好落在邊BC上；
（3）在動點M的運動過程中，記△PMN與梯形MBCN重疊部分的面積為y，試求y關于x的函數關系式；并求x為何值時，重疊部分的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）因為MN∥BC，所以△AMN∽△ABC，所以根據相似三角形的性質即可求得MN的值與MN邊上的高的值，即可求得面積；
（2）根據軸對稱的性質，可求得相等的線段與角，可得點M是AB中點，即當x=AB=2時，點P恰好落在邊BC上；
（3）分兩種情況討論：①當0＜x≤2時，易見y=x²．（8分）
②當2＜x＜4時，如圖3，設PM，PN分別交BC于E，F
由（2）知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4
由題意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性質即可求得．
解答：解：（1）S_△AMN=x²（3）；

（2）如圖2，由軸對稱性質知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，（4分）
又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，（5）
∴∠B=∠BPM∴AM=PM=BM（6分）
∴點M是AB中點，即當x=AB=2時，點P恰好落在邊BC上．（7分）

（3）（i）以下分兩種情況討論：
①當0＜x≤2時，易見y=x²（8分）
②當2＜x＜4時，如圖3，設PM，PN分別交BC于E，F
由（2）知ME=MB=4-x，
∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4
由題意知△PEF∽△ABC，
∴，
∴
∴
∴y=
（ii）∵當0＜x≤2時，y=x²
∴易知y_最大=（11分）
又∵當2＜x＜4時，y=x²+6x-6=（x-）²+2．
∴當時（符合2＜x＜4），y_最大=2，（12分）
綜上所述，當時，重疊部分的面積最大，其值為2．（13分）

點評：此題考查了折疊問題，要注意對應的線段對應的角相等，此題還考查了相似三角形的性質，解題的關鍵是數形結合思想的應用．