Question

已知：如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A，B兩點．求證：直線O₁O₂垂直平分AB．

Answer 1

【答案】分析：如圖，設AB和O₁O₂相交于點M，連接O₁A，O₂A，O₁B，O₂B，即可推出O₁A=O₁B，O₂B=O₂A，根據全等三角形的判定定理（SSS），推出△O₁AO₂≌△O₁BO₂，可得∠AO₁O₂=∠BO₁O₂，然后通過全等三角形的判定定理（SAS），推出△AO₁M≌BO₁M△，可得AM=BM，∠AMO₁=∠BMO₁，即直線O₁O₂垂直平分AB．
解答：解：設AB和O₁O₂相交于點M，連接O₁A，O₂A，O₁B，O₂B，
∵⊙O₁與⊙O₂相交于A，B兩點，
∴O₁A=O₁B，O₂B=O₂A，
在△O₁AO₂和△O₁BO₂中，
，
∴△O₁AO₂≌△O₁BO₂（SSS），
∴∠AO₁O₂=∠BO₁O₂，
在△AO₁M和△BO₁M中，
，
∴△AO₁M≌△BO₁M（SAS），
∴AM=BM，∠AMO₁=∠BMO₁，
∴直線O₁O₂垂直平分AB．

點評：本題主要考查全等三角形的判定定理和性質，圓的半徑的性質，關鍵在于正確的做出輔助線構建全等的三角形，熟練運用全等三角形的判定定理及性質，通過求證△O₁AO₂≌△O₁BO₂，推出△AO₁M≌△BO₁M，繼而推出結論．