Question

點P（x，y）在第一象限，且x+y=10，點A的坐標為（8，0），設原點為O，△OPA的面積為S．
（1）求S與x的函數關系式，寫出x的取值范圍，畫出這個函數圖象；
（2）當S=12時，求點P的坐標；
（3）△OPA的面積能大于40嗎？為什么？

Answer 1

（1）S=40﹣4x, 0＜x＜10,圖象見解析；（2）（7，3）；（3）△OPA的面積不能大于40,證明見解析．

試題分析：（1）根據三角形的面積公式△OPA的面積=OA•|y_p|列式，即可用含x的解析式表示S=40﹣4x，然后根據S＞0及已知條件，可求出x的取值范圍，根據一次函數的性質和x的取值范圍可畫出函數S的圖象；（2）將S=12代入求得的函數的解析式，然后求得x、y的值，從而求得點P的坐標；（3）根據一次函數的性質及自變量的取值范圍即可判斷．
試題解析：（1）∵A和P點的坐標分別是（8，0）、（x，y），
∴△OPA的面積=OA•|y_p|，
∴S=×8×|y|=4y,
∵x+y=10，
∴y=10﹣x,
∴S=4（10﹣x）=40﹣4x,
∵S=﹣4x+40＞0，
x＜10,
又∵點P在第一象限，
∴x＞0，
即x的范圍為：0＜x＜10,
∵S=﹣4x+40，S是x的一次函數，
∴函數圖象經過點（10，0），（0，40）,
所畫圖象如下：

（2）∵S=﹣4x+40，
∴當S=12時，12=﹣4x+40，
解得：x=7，y=3,
即當點P的坐標為（7，3）；
（3）△OPA的面積不能大于40．理由如下：
∵S=﹣4x+40，﹣4＜0，
∴S隨x的增大而減小，
又∵x=0時，S=40，
∴當0＜x＜10，S＜40,
即△OPA的面積不能大于40．