Question

如圖1，矩形ABCD中，AB=10cm，AD=6cm，在BC邊上取一點E，將△ABE沿AE翻折，使點B落在DC邊上的點F處．
（1）求CF和EF的長；
（2）如圖2，一動點P從點A出發，以每秒1cm的速度沿AF向終點F作勻速運動，過點P作PM∥EF交AE于點M，過點M作MN∥AF交EF于點N．設點P運動的時間為t（0＜t＜10），四邊形PMNF的面積為S，試探究S的最大值？
（3）以A為坐標原點，AB所在直線為橫軸，建立平面直角坐標系，如圖3，在（2）的條件下，連接FM，若△AMF為等腰三角形，求點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據翻折對稱性EF=BE，AF=AB，利用勾股定理求出DF的長，CF=AB-DF，在△CEF中，設EF為x，則CE=6-x，利用勾股定理列式求解即可求出EF；
（2）根據相似三角形對應邊成比例求出PM的長，矩形的面積等于PM•PF，再根據二次函數最值問題求解；
（3）因為三角形的腰不明確，分AM=MF和AM=AF兩種情況討論，①當AM=MF時，根據等腰三角形三線合一的性質點M是AE的中點，根據三角形中位線定理即可求出點M的坐標；②當AM=AF時，根據相似三角形對應邊成比例求解點M的坐標．

解答：解：（1）由題意，得AB=AF=10，
∵AD=6，
∴DF=8，
∴CF=2．（2分）
設EF=x，則BE=EF=x，CE=6-x
在Rt△CEF中，2²+（6-x）²=x²
解得，x=

10

3

，
∴EF=

10

3

；（4分）

（2）∵PM∥EF，
∴△APM∽△AFE，
∴

PM

FE

=

AP

AF

即

PM

10 3

=

t

10

，
∴PM=

1

3

t，
∵PMNF是矩形，
∴S=PM•PF=

1

3

t(10-t)=-

1

3

t2+

10

3

t（6分）
∵a=-

1

3

＜0，
∴當t=-

b

2a

=5時，S最大=

25

3

；（8分）

（3）①若AM=FM，則AM=

52+( 5 3 )2

=

5

3

10

，
過點M作MG⊥AB于G，則△AMG∽△AEB，
∴AG=

1

2

AB=5，MG=

1

2

EB=

5

3

，
∴M（5，

5

3

）；（11分）
②若AM=AF=10，過點M作MH⊥AB于H，
由△AMH∽△AEB，得AH=3

10

，MH=

10

，
∴M（3

10

，

10

）．
故點M的坐標為（5，

5

3

）或（3

10

，

10

）．

點評：本題綜合性較強，主要利用勾股定理，等腰三角形的性質，二次函數最值問題求解，相似三角形對應邊成比例的性質，熟練掌握各定理和性質并靈活運用是解題的關鍵．