Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AC交⊙O于E點，BC交⊙O于D點，CD=BD，∠C=70°，現給出以下四個結論：
①∠A=45°；②AC=AB；③弧AE=弧BE； ④2CE•AB=BC²，其中正確結論的序號為    ．

Answer 1

【答案】分析：首先連接AD，OE，BE，由AB為⊙O的直徑，CD=BD，易證得AB=AC，又由∠C=70°，可求得∠BAC=40°；繼而可求得∠BOE=80°，∠AOE=100°，則可得弧AE≠弧BE；易證得△CEB∽△BDA，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得2CE•AB=BC²．
解答：解：連接AD，OE，BE，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∵CD=BD，
∴AC=AB，
故②正確；
∴∠B=∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=40°，
故①錯誤；
∵∠BOE=2∠BAC=80°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=100°，
∴弧AE≠弧BE；
故③錯誤；
∵∠CEB=∠ADB=90°，∠CBE=∠CAD=∠BAD，
∴△CEB∽△BDA，
∴，
∴BC•BD=AB•CE，
∵BC=2BD，
∴2CE•AB=BC²．
故④正確．
故答案為：②④．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質以及線段垂直平分線的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．