Question

如圖1是某學校存放學生自行車的車棚的示意圖（尺寸如圖所示），車棚頂部是圓柱側面的一部分；圖2是車棚頂部截面的示意圖．
（1）用尺規在圖2中作出弧AB所在圓的圓心（保留作圖痕跡，不寫作法與證明）；
（2）車棚頂部是用一種帆布覆蓋的，由圖1中給出數據求覆蓋棚頂的帆布的面積（不考慮接縫等因素，計算結果保留π）．

Answer 1

分析：（1）根據弦的垂直平分線必過圓心，只需作兩條弦的垂直平分線，則交點即為圓心；
（2）覆蓋棚頂的帆布的面積等于弧AB的長乘以60，要求弧長，則需求得弧所對的圓心角和半徑的長，因此可以構造半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形，根據勾股定理進行求解．

解答：解：（1）如圖所示：
；
（2）如（1）中的圖，根據垂徑定理，得AD=2

3

．
設圓的半徑是r．
在直角三角形AOD中，根據勾股定理，得
r²=（r-2）²+（2

3

）²，
解得r=4．
則OD=2．
∴∠AOD=60°，
∴∠AOB=2∠AOD=120°，
則弧AB的長是

120π×4

180

=

8π

3

，
則覆蓋棚頂的帆布的面積是

8π

3

×60=160π（m²）．

點評：此題考查了垂徑定理及其推論的運用，能夠根據垂徑定理的推論求作一條弧所在圓的圓心，能夠構造半徑、半弦、弦心距的直角三角形．