Question

如圖所示，△ABC，AB=AC，二次函數(shù)y=-

1

2

x2+4x的圖象經(jīng)過點A、B、C，點E（1，0），F(xiàn)（7，0），將正方形EFKD沿y軸正方向進行移動，速度為每秒移動2個單位，移動時間為t（0＜t≤4），設(shè)移動過程中正方形與三角形部分重疊的面積為S
（1）求△ABC的面積S_△ABC；
（2）求重疊部分面積S關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；
（3）當正方形的點E、F移動到二次函數(shù)圖象上，求重疊部分面積S，并請判斷點D、K是否在△ABC外接圓上并說明理由；如不在，也請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出B，C兩點的坐標，從而求出線段BC的長，再求出頂點A的縱坐標即BC邊上的高線，進而求△ABC的面積；
（2）分三種情況對問題進行討論：①正方形EFKD的點E移動到直線AB的過程，正方形與三角形的重疊部分為矩形；②正方形EFKD繼續(xù)向上移動，點D移動到x軸上的過程，正方形與三角形的重疊部分（1＜t≤3）；③正方形EFKD繼續(xù)向上移動，點D移動到直線AB上的過程，正方形與三角形的重疊部如圖3所示，分別求重疊部分面積S關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式即可．
（3）當正方形的點E、F移動到二次函數(shù)圖象上，可求出此時的時間t，再把t代入二次函數(shù)的解析式進行驗證即可的問題答案．

解答：解：（1）y=-

1

2

x2+4x=-

1

2

(x-4)2+8，
∴頂點A（4，8），
∵y=0時，-

1

2

x2+4x=0，
解得x₁=0，x₂=8
∴點B（0，0），點C（8，0），
所以S_△ABC=

BC•8

2

=

8×8

2

=32．

（2）分三種情況：
①正方形EFKD的點E移動到直線AB的過程，正方形與三角形的重疊部分為矩形，
如圖1所示（0＜t≤1）S=2t•EF=12t，
②正方形EFKD繼續(xù)向上移動，點D移動到x軸上的過程，正方形與三角形的重疊部分如圖2所示（1＜t≤3），
易知：KW=2，BW=1，EK=2t-2△BKW∽△EHK，得EH=t-1（6分）S=12t-2（t-1）²=-2t²+16t-2，
③正方形EFKD繼續(xù)向上移動，點D移動到直線AB上的過程，正方形與三角形的重疊部如圖3所示（3＜t≤4），
由②得EH=t-1S=36-2（t-1）²=-2t²+4t+34，
重疊部分面積S關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式S=

12t(0＜t≤1) -2t2+16t-2(1＜t≤3) -2t2+4t+34(3＜t≤4)

，
（3）不存在
∵當正方形的點E、F移動到二次函數(shù)圖象上，t=1.75，
∴S=-2×1.752+16×1.75-2=

159

8

，
此時點D、K不在△ABC外接圓上，
易求出△ABC的外接圓的半徑為5，
設(shè)△ABC的外接圓的圓心為O，OD=

42+(3+2.5)2

≠5，
所以點D不在△ABC外接圓上，同理點K也不在△ABC外接圓上．

點評：本題考查了二次函數(shù)和幾何圖形（等邊三角形，正方形）的綜合應(yīng)用，這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．