Question

（2010•深圳）如圖1所示，以點M（-1，O）為圓心的圓與y軸，x軸分別交于點A，B，C，D，直線y=-x-與⊙M相切于點H，交x軸于點E，交y軸于點F．
（1）請直接寫出OE，⊙M的半徑r，CH的長；
（2）如圖2所示，弦HQ交x軸于點P，且DP：PH=3：2，求cos∠QHC的值；
（3）如圖3所示，點K為線段EC上一動點（不與E，C重合），連接BK交⊙M于點T，弦AT交x軸于點N．是否存在一個常數a，始終滿足MN•MK=a，如果存在，請求出a的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在直線y=-x-中，令y=0，可求得E的坐標，即可得到OE的長為5；連接MH，根據△EMH與△EFO相似即可求得半徑為2；再由EC=MC=2，∠EHM=90°，可知CH是RT△EHM斜邊上的中線，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出CH的長；
（2）連接DQ、CQ．根據相似三角形的判定得到△CHP∽△QDP，從而求得DQ的長，在直角三角形CDQ中，即可求得∠D的余弦值，即為cos∠QHC的值；
（3）連接AK，AM，延長AM，與圓交于點G，連接TG，由圓周角定理可知，∠GTA=90°，∠3=∠4，故∠AKC=∠MAN，再由△AMK∽△NMA即可得出結論．
解答：解：（1）∵直線y=-x-中，令y=0，則x=-5，即OE=5；
令x=0，則y=-，故F點坐標為（0，-），
∴EF==，
∵M（-1，0），
∴EM=4，
∵∠E=∠E，∠AOE=∠EHM，
∴△EMH∽△EFO，
∴=，即=，
∴r=2；
∵CH是RT△EHM斜邊上的中線，
∴CH=EM=2．

（2）連接DQ、CQ．
∵∠CHP=∠D，∠CPH=∠QPD，
∴△CHP∽△QDP．
∴CH：DQ=HP：PD=2：3，
∴DQ=3．
∴cos∠QHC=cos∠D=．

（3）如圖3，連接AK，AM，延長AM，與圓交于點G，連接TG，則∠GTA=90°，
∴∠MAN+∠4=90°，
∵∠3=∠4
∴∠MAN+∠3=90°
由于∠BKO+∠3=90°，故∠BKC=∠MAN；
而∠BKC=∠AKC，
∴∠AKC=∠2，
在△AMK和△NMA中，∠AKC=∠MAN；∠AMK=∠NMA，
故△MAK∽△MNA，
=；
即：MN•MK=AM²=4，
故存在常數a，始終滿足MN•MK=a，
常數a=4．
點評：此題要能夠把一次函數的知識和圓的知識結合起來．掌握相似三角形的判定和性質、圓周角定理的推論、銳角三角函數的概念等，此題的綜合性較強．