Question

如圖，平面直角坐標系中有一直角梯形OMNH，點H的坐標為（－4，0），點N的坐標為（－3，－2）,直角梯形OMNH關于原點O的中心對稱圖形是直角梯形OABC，（點M的對應點為A，點N的對應點為B， 點H的對應點為C）；

1.求出過A，B，C三點的拋物線的表達式

2.在直角梯形OABC中，截取BE=AF=OG=m(m＞0)，且E，F，G分別在線段BA，AO，OC上，求四邊形BEFG的面積S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；面積S是否存在最小值?若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由；

3.在（2）的情況下，是否存在BG∥EF的情況，若存在，請求出相應m的值，若不存在，說明理由．

 

Answer 1

 

1.

如圖，由題意得：A(0，2)、B(3，2)、C(4，0) ………1分

設過A、B、C的拋物線為y＝ax＋bx＋c，

則 ，  解得    ∴y＝－x＋x＋2 ………3分

2.∵BE＝AF＝OG＝m，AB＝3，OA＝2，OC＝4，∴AE＝3－m，OF＝2－m，CG＝4－m，

∴S＝S―S―S―S

＝×2×7―·m(3－m)―·m(2－m)―×2·(4－m)

＝m－m＋3………5分

＝(m－)＋ (0＜m≤2) ………6分

∵0＜≤2，∴當x＝時，S取得最小值………7分

3.設直線BG為y＝kx＋n，∵B(3，2)，G(m，0)，  ∴，k＝，

設直線EF為y＝kx＋n，∵E(3－m，2)，F(0，2－m)， ∴，k＝，

只有當＝時，有BG∥EF………8分

解＝得m＝2………9分

∴當m＝2時，有BG∥EF (此時F與O重合) ………10分

 解析:略