Question

如圖，拋物線y=x²+mx過點A（4，0），O為坐標原點，Q是拋物線的頂點
（1）求m的值及Q點的坐標；
（2）點P是x軸下方拋物線上的一個動點，過P作PH⊥X軸，H為垂足．當點P在x軸下方拋物線上運動至何點時，折線P-H-O的長度最長？并且求出此時折線P-H-O的長度．
（3）請用文字敘述，當點P在x軸下方拋物線上運動時，折線P-H-O的長度隨x的變化情況．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A點坐標代入拋物線解析式，可求m的值，利用配方法求拋物線頂點坐標；
（2）設H（x，0），表示P點坐標及折線P-H-O的長度，利用二次函數的性質求折線P-H-O長度的最大值；
（3）利用折線P-H-O的長度的解析式，解答折線P-H-O的長度隨x的變化情況．
解答：解：（1）將點A（4，0）代入拋物線y=x²+mx中，得
16+4m=0，
解得m=-4，
∴拋物線解析式為y=x²-4x，
配方，得y=（x-2）²-4，∴Q（2，-4）；

（2）設H（x，0），則P（x，x²-4x），
可知，折線P-H-O的長度w=x+[-（x²-4x）]=-x²+5x=-（x-）²+，
∵-1＜0，拋物線開口向下，
∴當x=時，折線P-H-O的長度最長，長度為；

（3）∵0＜x＜4，
∴當0＜x≤時，折線P-H-O的長度隨x的增大而增大，
當＜x＜4時，折線P-H-O的長度隨x的增大而減小．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是利用待定系數法求拋物線解析式，利用點的坐標表示線段的長度，列出函數關系式，根據二次函數的性質解答問題．