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如圖,正方形ABCD中,點E是對角線BD上一點,點F是邊BC上一點,點G是邊CD上一點,BE=2ED,CF=2BF,連接AE并延長交CD于G,連接AF、EF、FG.給出下列五個結論:①DG=GC;②∠FGC=∠AGF;③S△ABF=S△FCG;④AF=EF;⑤∠AFB=∠AEB.其中正確結論的個數是( )

A.5個
B.4個
C.3個
D.2個
【答案】分析:①本題需先根據已知BE=2ED,得出,再根據AB=CD,即可得出結果.
②本題需先設出數據,再得出AG、AF等于多少,再求出這兩個角的正切值是多少,及可求出結果.
③本題需先根據題意得出S△ABF與S△FCG的面積是多少,及可求出結果.
④本題先根據在Rt△AEF中,求出EF,AF的值,即可得出結論.
⑤證出Rt△ABF∽Rt△AOE,即可得到∠AFB=∠AEB.
解答:解:①∵BE=2DE
=

∵AB=CD
∴DG=CD
∴DG=CG
故本選項正確
②設BF=1,則CF=2,AB=AD=3,DG=CG=
過點E作AB的平行線,交AD于M,交BC于N,
可得四邊形MNCD是矩形,△AME∽ADG,且相似比為
∵AD=3,
∴AM=2,DM=1,NC=1,
則BN=BC-NC=2,FN=BN-BF=1,
∵MD∥BN,
∴△MDE∽NBE,
且相似比
∴ME=1,EN=2,
在Rt△EFN中,
EF==
在Rt△AME中,
AE==
在Rt△ABF中,
AF=
∴AE2+EF2=AF2
∴∠AEF=90°,
∵AG==
∴EG=
∴tan∠AGF==
又tan∠FGC=
∴∠FGC≠∠AGF,
故本選項錯誤
③∵×

=
∴S△ABF=SFCG
故本選項正確
④連接EC,過E點作EH⊥BC,垂足為H,
由②可知AF=
∵BE=2ED,
∴BH=2HC,EH=CD=2,
又∵CF=2BF,
∴H為FC的中點,FH=1,

∴在Rt△HEF中:
∵EF=
==
AF=
∴AF=EF
故本選項正確.
⑤過A點作AO⊥BD,垂足為O,

∴Rt△ABF∽Rt△AOE,
∴∠AFB=∠AEB.
故本選項正確.
故選B.
點評:本題主要考查了正方形的性質,在解題時要注意知識的綜合運用,借助圖形是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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A、1B、2C、3D、4

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16

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(2)觀察猜想BE與DG之間的關系,并證明你的結論.

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同步練習冊答案
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