Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為a的正方形，點G，E分別是邊AB，BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．
（1）證明：∠BAE=∠FEC；
（2）求△AEF的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于四邊形ABCD是正方形，可得∠B=90°，AB=BC，而G、E是AB、BC中點，易證BG=BE，可求∠BGE=∠BEG=45°，利用三角形外角性質可得∠BGE=∠1+∠2=45°，又知∠AEF=90°，易求∠1+∠4=45°，從而可證∠BAE=∠FEC；
（2）由（1）知∠BGE=45°，可求∠AGE=135°，而CF是外角平分線，可求∠FCE=45°，進而可求∠ECF=135°，那么∠AGE=∠ECF，根據正方形的性質以及重點定義，易證AG=EC，又知∠4=∠2，利用ASA可證△AGE≌△ECF，于是EA=EF，在Rt△ABE中利用勾股定理可求AE²=a²，進而可求△AEF的面積．
解答：證明：如右圖，
（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=BC，
∵G、E是AB、BC中點，
∴BG=AB，BE=BC，
∴BG=BE，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠BGE=∠1+∠2=45°，
∵∠AEF=90°，
∴∠1+∠4=180°-45°-90°=45°，
∴∠2=∠4，
即∠BAE=∠FEC；
（2）由（1）知∠BGE=45°，
∴∠AGE=135°，
∵CF是∠DCH的角平分線，
∴∠FCH=×90°=45°，
∴∠ECF=135°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵G、E是AB、BC中點，
∴AG=AB，EC=BC，
∴AG=EC，
在△AGE和△ECF中，
，
∴△AGE≌△ECF，
∴AE=EF，
在Rt△ABE中，∵AE²=AB²+BE²，
∴AE²=a²，
∴S△AEF=×AE×EF=AE²=×a²=a²．
點評：本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、三角形外角性質，解題的關鍵是證明∠BAE=∠FEC，以及證明△AGE≌△ECF．