Question

如圖，正方形ABCD的四個頂點分別在四條平行線l₁、l₂、l₃、l₄上，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為h₁、h₂、h₃（h₁＞0，h₂＞0，h₃＞0）．
（1）求證：h₁=h₃； 
（2）設正方形ABCD的面積為S，求證：S=（h₂+h₁）²+h₁²；
（3）若，當h₁變化時，說明正方形ABCD的面積為S隨h₁的變化情況．

Answer 1

【答案】分析：（1）過A點作AF⊥l₃分別交l₂、l₃于點E、F，過C點作CH⊥l₂分別交l₂、l₃于點H、G，根據正方形的性質和平行線的性質，證△ABE≌△CDG即可；
（2）易證△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF，且兩直角邊長分別為h₁、h₁+h₂，四邊形EFGH是邊長為h₂的正方形，所以
．
（3）根據題意用h₂關于h₁的表達式代入S，即可求出h₁取何范圍是S的變化．
解答：（1）證明：過A點作AF⊥l₃分別交l₂、l₃于點E、F，過C點作CH⊥l₂分別交l₂、l₃于點H、G，
∵四邊形ABCD是正方形，l₁∥l₂∥l₃∥l₄，
∴AB=CD，∠ABE+∠HBC=90°，
∵CH⊥l₂，
∴∠BCH+∠HBC=90°，
∴∠BCH=∠ABE，
∵∠BCH=∠CDG，
∴∠ABE=∠CDG，
∵∠AEB=∠CGD=90°，
∴△ABE≌△CDG（AAS），
∴AE=CG，
即h₁=h₃，

（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，
∵∠AEB=∠DFA=∠BHC=∠CGD=90°，∠ABE=∠FAD=∠BCH=∠CDG，
∴△AEB≌△DAF≌△BCH≌△CGD，且兩直角邊長分別為h₁、h₁+h₂，
∴四邊形EFGH是邊長為h₂的正方形，
∴，

（3）解：由題意，得，
所以，
又，
解得0＜h₁＜，
∴當0＜h₁＜時，S隨h₁的增大而減小；
當h₁=時，S取得最小值；當＜h₁＜時，S隨h₁的增大而增大．
點評：本題主要考查全等三角形的判定和性質、平行線的性質、直角三角形的性質，本題的關鍵在于作好輔助線，根據已知找到全等三角形即可