Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，OD⊥AC于點E，交⊙O于點F，連接BF，CF，∠D=∠BFC.

（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若AC=8，tanB =，求AD的長.

Answer 1

（1）證明略
（2）

（1）證明：∵ OD⊥AC于點E，
∴ ∠OEA=90°，∠1+∠2=90°．
∵ ∠D=∠BFC，∠BFC=∠1，
∴ ∠D +∠2=90°，∠OAD =90°．
∴ OA⊥AD于點A．………………………1分
∵OA是⊙O的半徑，
∴AD是⊙O的切線． ……………………2分
（2）解：∵OD⊥AC于點E，AC是⊙O的弦，AC=8，
∴．………………………………………………………3分
∵∠B=∠C，tanB =，
∴ 在Rt△CEF中，∠CEF=90°，tanC =．
∴．
設⊙O的半徑為r，則．
在Rt△OAE中，由勾股定理得 ，即 ．
解得 r =5．……………………………………………………………………4分
∴ 在Rt△OAE中，．
∴ 在Rt△OAD中，． ………………………5分