Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD為AB邊的中線，以D為公共端點的兩條互相垂直的射線分別與AC、BC交于點E、F，分別過點E、F作AB的垂線，垂足為G、H．
（1）求證：①DE=DF；②EG+FH=AC．
（2）當∠EDF繞D點旋轉到圖2、圖3這兩種位置時，探索②中的等量關系是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段EG、FH、AC之間又有怎樣的數量關系？寫出你的猜想（不需證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）①可通過證明△CDE≌△BDF，根據全等三角形的對應邊相等解答；②△AEG和△BHF均為等腰直角三角形，可得GE=HD，GD=HF，易證△DEG≌△FDH，可得EG=DH，FH=DG，則可得EG+FH=DH+DG=AG+BH=AB=AC．
（2）圖2中，可證明△EDG≌△DFH（AAS），則EG=DH，DG=FH，又△AGE是等腰三角形，則EG-FH=AG-DG=AB=AC；圖3同理可得，FH-GE=BH-DH=AB=AC．
解答：證明：（1）①∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD為AB上的中線，
∴CD=BD，∠DCE=∠B=45°，∠CDB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠CDE+∠CDF=∠BDF+∠CDF=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF，
∴DE=DF．

②∵EG⊥AB，FH⊥AB，
∴∠EGD=∠DHF=90°，∠DEG+∠EDG=90°，
∴△AEG和△BHF均為等腰直角三角形，
又∵∠EDF=90°，
∴∠EDG+∠FDH=90°，
∴∠DEG=∠FDH，
在△DEG和△FDH中，
，
∴△DEG≌△FDH，
∴EG=DH，FH=DG，
∴EG+FH=DH+DG=AG+BH=AB=AC．

（2）均不成立．
①當∠EDF繞D點旋轉到圖2位置時，EG-FH=AC．
證明：∵EG⊥AB，FH⊥AB，
∴∠EGD=∠DHF=90°，∠DEG+∠EDG=90°，
∴△AEG和△BHF均為等腰直角三角形，
又∵∠EDF=90°，
∴∠EDG+∠FDH=90°，
∴∠DEG=∠FDH，
在△DEG和△FDH中，
，
∴△DEG≌△FDH，
∴EG=DH，FH=DG，
∴EG-FH=AG-DG=AB=AC．

②當∠EDF繞D點旋轉到圖3位置時，FH-EG=AC．
證明：∵EG⊥AB，FH⊥AB，
∴∠EGD=∠DHF=90°，∠DEG+∠EDG=90°，
∴△AEG和△BHF均為等腰直角三角形，
又∵∠EDF=90°，
∴∠EDG+∠FDH=90°，
∴∠DEG=∠FDH，
在△DEG和△FDH中，
，
∴△DEG≌△FDH，
∴EG=DH，FH=DG，
∴FH-GE=BH-DH=AB=AC．
點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質及旋轉的性質，鍛煉培養了學生的抽象思維能力、想象探究能力．