Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F，現(xiàn)給出以下四個(gè)結(jié)論：（1）AE＝CF；（2）△EPF是等腰直角三角形；（3）S四邊形AEPF＝S△ABC；（4）當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)始終有EF＝AP．（點(diǎn)E不與A、B重合），上述結(jié)論中是正確的結(jié)論的概率是（　　）

A.1個(gè)B.3個(gè)C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)題意，容易證明△AEP≌△CFP，然后能推理得到選項(xiàng)A，B，C都是正確的，當(dāng)EF＝AP始終相等時(shí)，可推出，由AP的長(zhǎng)為定值，而PF的長(zhǎng)為變化值可知選項(xiàng)D不正確．從而求出正確的結(jié)論的概率．

解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，

∴，．

（1）在△AEP與△CFP中，

∵∠EAP＝∠C＝45°，AP＝CP，∠APE＝∠CPF＝90°﹣∠APF，

∴△AEP≌△CFP

∴AE＝CF．（1）正確；

（2）由（1）知，△AEP≌△CFP，

∴PE＝PF，

又∵∠EPF＝90°，

∴△EPF是等腰直角三角形．（2）正確；

（3）∵△AEP≌△CFP，同理可證△APF≌△BPE．

∴．（3）正確；

（4）當(dāng)EF＝AP始終相等時(shí)，由勾股定理可得：

則有：，

∵AP的長(zhǎng)為定值，而PF的長(zhǎng)為變化值，

∴與不可能始終相等，

即EF與AP不可能始終相等，（4）錯(cuò)誤，

綜上所述，正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)，

故正確的結(jié)論的概率是．

故選：D．