Question

如圖，二次函數y=ax²+bx的圖象與一次函數y=x+2的圖象交于A、B兩點，點A的橫坐標是-1，點B的橫坐標是2．
（1）求二次函數的表達式；
（2）設點C在二次函數圖象的OB段上，求四邊形OABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把x=-1和2分別代入y=x+2，就可以求出A，B的坐標，把這兩點的坐標代入二次函數的解析式，就可以求出二次函數的解析式．
（2）過點A、B作AM⊥x軸，BN⊥x軸，分別交于M、N．過點C作CP⊥BN于P．設P的坐標是（x，y）．因而四邊形OABC面積就可以表示成x的函數，根據函數的性質，就可以求出四邊形OABC面積的最大值．
解答：解：（1）把x=-1和2分別代入y=x+2，得到y的值分別是1、4，因而A、B的坐標分別是（-1，1），（2，4）．
根據題意得到：
解得
因而二次函數的解析式是y=x²．

（2）過點A、B作AM⊥x軸，BN⊥x軸，分別交于M、N．過點C作CP⊥BN于P．
設C的坐標是（x，y）．
梯形AMNB的面積=（AM+BN）•MN=（1+4）×3=；
△AOM的面積=AM•OM=；
△BCP的面積=CP•BP=（2-x）（4-y）=（2-x）（4-x²）；
四邊形CPNO的面積是（CP+ON）•PN=[（2-x）+2]•y=（4-x）•x²．
因而四邊形OABC面積s=梯形AMNB的面積-△AOM的面積-△BCP的面積-四邊形CPNO的面積=-x²+2x+3．
當x=1時，函數s=-x²+2x+3有最大值是4．
點評：本題主要考查了待定系數法求函數的解析式，求面積的最值問題一般要轉化為函數的最值問題，依據函數的性質解決．