Question

平面上任意五個點都落在格點上，試證明至少有二個點連線的中點也在格點上．

Answer 1

分析：首先根據中點坐標公式知，坐標平面兩點（x₁，y₁）、（x₂，y₂）的中點坐標是（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），再證明x₁與x₂，y₁與y₂的奇偶性相同，根據坐標的奇偶性構造四個“抽屜”進行證明．

解答：證明：由中點坐標公式知，坐標平面兩點（x₁，y₁）、（x₂，y₂）的中點坐標是（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）．
欲使

x1+x2

2

和

y1+y2

2

都是整數，必須而且只須x₁與x₂，y₁與y₂的奇偶性相同．
平面上格點的坐標是以下四種情況：（奇數，奇數），（奇數，偶數），（偶數，偶數），
（偶數，奇數）由于五個點都落在格點上，肯定有二個格點的坐標情況相同，
根據整數的奇偶性質，則他們連線的中點坐標也一定是以上四種情況之一．
故至少有二個點的中點的連線也在格點上．

點評：此題主要考查了抽屜原理的知識點，解答本題的關鍵是對坐標平面上的任意格點按照橫縱兩個坐標的奇偶性考慮構造四個“抽屜”，充分利用好抽屜原理的知識點，本題難度較大．