Question

【題目】如圖，已知AM∥BN，∠A=80°，點P是射線AM上的動點（與A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM于點C、D．

（1）求∠CBD的度數；

（2）當點P運動時，∠APB∶∠ADB的度數比值是否隨之發生變化？若不變，請求出這個比值；若變化，請找出變化規律．

（3）當點P運動到使∠ACB=∠ABD時，求∠ABC的度數．

Answer 1

【答案】（1）50°；（2）不變，∠APB：∠ADB=2：1，理由詳見解析；（3）∠ABC=25°．

【解析】

（1）先根據平行線的性質求出∠ABN，然后再根據角平分線的定義即可求出∠CBD；

（2）先根據平行線的性質可得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，然后再由角平分線的定義即可發現規律；

（3）由平行線的性質可得∠ACB=∠CBN=50°+∠DBN，再結合條件可得到∠DBN=∠ABC，且∠ABC+∠DBN=60°，即可求解．

解：（1）∵AM∥BN，

∴∠ABN+∠A=180°，

又∵∠A=80°，

∴∠ABN=180°－80°=100°，

∴∠ABP+∠PBN=100°，

∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，

∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，

∴2∠CBP+2∠DBP=100°，

∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=50°；

（2）不變，∠APB：∠ADB=2：1．

∵AM∥BN，

∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，

∵BD平分∠PBN，

∴∠PBN=2∠DBN，

∴∠APB：∠ADB=2：1；

（3）∵AM∥BN，

∴∠ACB=∠CBN，

當∠ACB=∠ABD時，則有∠CBN=∠ABD，

∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，

∴∠ABC=∠DBN，

由（1）可知∠ABN=100°，∠CBD=50°，

∴∠ABC+∠DBN=50°，

∴∠ABC=25°．