Question

（2013•安徽）圖1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y與x滿足的反比例函數關系如圖2所示，等腰直角三角形AEF的斜邊EF過C點，M為EF的中點，則下列結論正確的是（　　）

A．當x=3時，EC＜EM

B．當y=9時，EC＞EM

C．當x增大時，EC?CF的值增大

D．當y增大時，BE?DF的值不變

Answer 1

分析：由于等腰直角三角形AEF的斜邊EF過C點，則△BEC和△DCF都是直角三角形；觀察反比例函數圖象得反比例解析式為y=

9

x

；當x=3時，y=3，即BC=CD=3，根據等腰直角三角形的性質得CE=3

2

，CF=3

2

，則C點與M點重合；當y=9時，根據反比例函數的解析式得x=1，即BC=1，CD=9，所以EC=

2

，而EM=3

2

；由于EC•CF=

2

x（6

2

-

2

x）配方得到-2（x-3）²+18，根據二次函數的性質得當0＜x＜3時，EC•CF的值隨x的增大而增大；利用等腰直角三角形的性質BE•DF=BC•CD=xy，然后再根據反比例函數的性質得BE•DF=9，其值為定值．

解答：解：因為等腰直角三角形AEF的斜邊EF過C點，M為EF的中點，所以△BEC和△DCF都是直角三角形；
觀察反比例函數圖象得x=3，y=3，則反比例解析式為y=

9

x

；
當x=3時，y=3，即BC=CD=3，所以CE=

2

BC=3

2

，CF=

2

CD=3

2

，C點與M點重合，則EC=EM，所以A選項錯誤；
當y=9時，x=1，即BC=1，CD=9，所以EC=

2

，而EM=3

2

，所以B選項錯誤；
因為EC•CF=

2

x（6

2

-

2

x）=-2（x-3）²+18，所以當0＜x＜3時，EC•CF的值隨x的增大而增大，所以C選項錯誤；
因為BE•DF=BC•CD=xy=9，即BE•DF的值不變，所以D選項正確．
故選D．

點評：本題考查了動點問題的函數圖象：先根據幾何性質得到與動點有關的兩變量之間的函數關系，然后利用函數解析式和函數性質畫出其函數圖象，注意自變量的取值范圍．