Question

（2012•六合區一模）如圖，點A₁、B₁、C₁分別是△ABC的三邊BC、AC、AB的中點，點A₂、B₂、C₂分別是△A₁B₁C₁的邊B₁C₁、A₁C₁、A₁B₁的中點，依此類推，則△A_nB_nC_n與△ABC的面積比為

（

1

4

）ⁿ

．

Answer 1

分析：由于A₁、B₁、C₁分別是△ABC的邊BC、CA、AB的中點，就可以得出△A₁B₁C₁∽△ABC，且相似比為

1

2

，就可求出S△A₁B₁C₁=

1

4

，同樣地方法得出S△A₂B₂C₂=

1

16

…依此類推所以就可以求出S_△AnBnCn的值．

解答：解：∵A₁、B₁、C₁分別是△ABC的邊BC、CA、AB的中點，
∴A₁B₁、A₁C₁、B₁C₁是△ABC的中位線，
∴△A₁B₁C₁∽△ABC，且相似比為

1

2

，
∴S_△A1B1C1：S_△ABC=1：4，且S_△ABC=1
∴S_△A1B1C1=

1

4

，
∵A₂、B₂、C₂分別是△A₁B₁C₁的邊B₁C₁、C₁A₁、A₁B₁的中點，
∴△A₁B₁C₁的∽△A₂B₂C₂且相似比為

1

2

，
∴S_△A2B2C2=

1

16

，
依此類推
∴S_△A3B3C3=

1

64

，
∴S_△AnBnCn=

1

22n

=（

1

4

）ⁿ．
故答案為：（

1

4

）ⁿ．

點評：本題考查了三角形中位線定理的運用，相似三角形的判定與性質的運用，解題的關鍵是有相似三角形的性質：面積比等于相似比的平方得到一般性規律．