Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經過點A（6，﹣3），對稱軸是直線x＝4，頂點為B，OA與其對稱軸交于點M，M、N關于點B對稱．

（1）求這條拋物線的表達式和點B的坐標；

（2）聯結ON、AN，求△OAN的面積；

（3）點Q在x軸上，且在直線x＝4右側，當∠ANQ＝45°時，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x，點B的坐標（4，﹣4）；（2）S△OAN＝12；（3）點Q的坐標（34，0）．

【解析】

（1）根據直線x＝4和A（6，﹣3）列出方程組，求出a、b即可求出解析式，然后將x＝4代入函數解析式，求得得y＝﹣4，所以點B的坐標（4，﹣4）；

（2）連結ON、AN，先求出M（4，﹣2），由M、N關于點B對稱，求出N（4，﹣6），于是MN＝4，所以S△OAN＝MN|xA|＝×4×6＝12；

（3）設對稱軸直線x＝4與x軸交于點T，拋物線與x軸另一個交點為P，則P（8，0），直線AN與x軸交于點P，連接NQ，連接NA、AP，過點P作PR⊥PN，與NQ交于點R，過R作RH⊥x軸于點H．由∠PNR＝∠ANQ＝45°，則∠PRN＝45°＝∠PNR，所以PR＝PN，易證△PTN≌△RHP（AAS），則RH＝PT＝4，PH＝TN＝6，TH＝10，由HR∥TN，列出比例式求出HQ＝20，于是OQ＝OP+PH+HQ＝8+6+20＝34，所以點Q的坐標（34，0）．

（1）由題意可得

，

解得a＝，b＝﹣2，

∴拋物線的表達式y＝x2﹣2x

將x＝4代入，得y＝﹣4，

∴點B的坐標（4，﹣4）；

（2）連結ON、AN，如圖1．

∵A（6，﹣3），

∴直線OA：y＝﹣x，

將x＝4代入，y＝﹣2，

∴M（4，﹣2），

∵M、N關于點B對稱，B（4，﹣4），

∴N（4，﹣6），

∴MN＝4，

∴S△OAN＝MN|xA|＝×4×6＝12；

（3）設對稱軸直線x＝4與x軸于點T，拋物線與x軸另一個交點為P，則P（8，0）．

∵A（6，﹣3），N（4，﹣6），

∴直線AN：y＝，

令y＝0，則x＝8，

∴直線AN與x軸交點（8，0），

即直線AN與x軸交于點P，

如圖2，連接NQ，連接NA、AP，過點P作PR⊥PN，與NQ交于點R，過R作RH⊥x軸于點H．

∵∠PNR＝∠ANQ＝45°，

∴∠PRN＝45°＝∠PNR，

∴PR＝PN，

易證△PTN≌△RHP（AAS），

∴RH＝PT＝4，PH＝TN＝6，

∴TH＝10，

∴HQ＝20，

∴OQ＝OP+PH+HQ＝8+6+20＝34，

點Q的坐標（34，0）．