Question

如圖，AB是半圓的直徑，點(diǎn)O是圓心，點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，CD⊥OA交半圓于點(diǎn)D，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接AE、OD，過(guò)點(diǎn)D作DP∥AE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．
（1）求∠AOD的度數(shù)；
（2）求證：PD是半圓O的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)CO與DO的數(shù)量關(guān)系，即可得出∠CDO的度數(shù)，進(jìn)而求出∠AOD的度數(shù)；
（2）利用點(diǎn)E是的中點(diǎn)，進(jìn)而求出∠EAB=30°，即可得出∠AFO=90°，即可得出答案．
解答：（1）解：∵AB是半圓的直徑，點(diǎn)O是圓心，點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，
∴2CO=DO，∠DCO=90°，
∴∠CDO=30°，
∴∠AOD=60°；

（2）證明：如圖，連接OE，
∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
∴=，
∵由（1）得∠AOD=60°，
∴∠DOB=120°，
∴∠BOE=60°，
∴∠EAB=30°，
∴∠AFO=90°，
∵DP∥AE，
∴PD⊥OD，
∴直線PD為⊙O的切線．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了垂徑定理以及圓周角定理和切線的判定定理等知識(shí)，根據(jù)已知得出∠AFO=90°是解題關(guān)鍵．